作为余弦输出的衍生

余弦的导数是类似 正弦的导数 的证据基础-限制功能的定义。 有可能使用利用三角公式的另一种方法，用于驱动正弦和余弦角度。 表达了一个又一个功能 - 通过正弦余弦，正弦，并与复杂的参数区分。

考虑式的输出的第一个例子（COS（X））'

得到可忽略的增量Δh的参数x和y = cos（x）的的。 如果参数x +Δh的的新值获得COS函数（X +ΔH）的新值。 然后递增量Δu功能将等于的Cos（X +ΔX）-cos（x）的。
增量函数的比率将是这样的量Δh：（COS（X +ΔX）-cos（X））/Δh的。 绘制导致分数的分子身份转换。 召回式差余弦，其结果是乘以仙工作-2Sin（ΔH/ 2）（X +Δh的/ 2）。 我们通过的Δh找到极限LIM私人本产品时的Δh趋向于零。 已知的是，第一个（称为卓越）极限LIM（茜（ΔH/ 2）/（ΔH/ 2））等于1，并限制-Sin（X +Δh的/ 2）等于-Sin（X）时ΔX，趋向于零。
我们写结果：导数（COS（X））“是 - SIN（X）。

有些人喜欢导出相同的公式的第二方法

从三角已知：cos（x）是等于仙（0,5·Π-x）的类似的sin（x）为cos（0,5·Π-X）。 然后可微复杂的函数 - 一个额外的角度的正弦值（而不是X余弦）。
我们获得产物的Cos（0,5·Π-X）·（0,5·Π-X）”，因为x的正弦余弦的衍生物为x。 访问第二式的sin（x）= cos（0,5·Π-x）的取代余弦和正弦，考虑（0,5·Π-X）= - 1。 现在，我们得到-Sin（X）。
因此，采取的余弦的衍生物，我们“= -Sin（×）表示函数y = cos（x）的。

余弦的平方衍生物

经常使用的例子中，使用余弦的，其中导数。 函数y =的Cos ^2（x）的复合物。 我们发现与指数2中的第一差分功率函数，即2·cos（x），则它是由衍生物乘以（COS（X））”，其等于-Sin（X）。 获得Y“= -2·cos（x）的·SIN（X）。 当适用仙式（2·X），双角度的正弦值，获得最终的简化
响应Y“= -Sin（2·x）的

双曲函数

适用于许多技术学科的数学研究，例如，使之更容易计算积分，解 微分方程。 它们在与假想参数的三角函数来表示，所以双曲余弦CH（X）=的Cos（I·X）其中，i - 是虚数单位，双曲正弦SH（X）= SIN（I·X）。
双曲余弦简单地计算。
考虑函数y ^{=（E X + E -x）} / 2，这是双曲余弦CH（X）。 使用查找衍生物两个表达式，去除通常常数乘法器（常数）的总和为导数的符号的规则。 0.5第二项·电子^-x -复变函数（其衍生物是-0.5·电子^{-x），0.5·}女^X -中的第一项。 （CH（X）） '=（（E ^X + E ^{- X）/} 2）'可以不同地写入^{：（0,5·E·X} + 0.5ë ^{- X）“=} 0,5·E ^X -0,5·电子^{- X，}因为衍生物（E ^{- X）“}等于-1，至umnnozhennayaë ^{- X。} 其结果是差别，这是双曲正弦SH（x）的。
结论：（CH（X））“= SH（x）的。
Rassmitrim如何计算函数y = CH（X ³ +1）的衍生物的例子。
通过区分规则与复杂的参数Y '= ^SH（×3 +1）·（X ³ +1）'双曲余弦其中（x ³ + 1）= 3·X ² + 0。
答：该函数的导数等于3·X ^2·SH（×3 +1）。

衍生物讨论的功能的Y = CH（x）和Y = cos（x）的表

在这些实例的决定，没有必要每次都来区分他们所提出的方案，使用输出足够。
实例。 区分函数y = cos（x）的+的Cos ^{2（-x）-CH（5·X）。}
这是很容易计算（使用表格数据）中，Y“= -Sin（X）+ SIN（2·X）-5·SH（X·5）。