几何级数及其性质

几何级数是数学作为一门科学的重要，以及应用的意义，因为它有一个范围极其广泛，即使是在 高等数学， 例如，在一系列的理论。 对进度的第一信息向我们走来，古埃及，特别是在纸莎草莱因德七人有七只猫的一个众所周知的问题的形式。 这个任务的变化是从其他国家不同时间重复多次。 即使是Velikiy莱昂纳多Pizansky，被称为斐波那契（十三角），对她说在他的“算盘书”。

这样几何级数有一个古老的历史。 它表示具有非零第一构件的数值序列，并且每个随后的，与所述第二开始是通过在被称为分母进展的常数，非零数字之前的递推公式相乘来确定（通常使用字母q表示）。
很明显，它可以通过将序列的每个后续术语划分到前一个发现，即，Z 2：Z 1 = ... =锌：Z N-1 = .... 因此，对于大多数工作进展（ZN）足够它知道分母和y 1个q的第一项的值。

例如，让Z 1 = 7，Q = - 4（Q <0），则下面的几何级数得到7 - 28，112 - 448，.... 正如你所看到的，所产生的序列不单调。

回想一下，单调的任意序列（增加/减少）时它的一个成员遵循比前一个更多/更少。 例如，序列2，5,9，...，和-10，-100，-1000，... - 单调，第二个 - 减小的几何级数。

在其中，q = 1，所有成员被发现是，并且它被称为恒定进展的情况。

顺序为这种类型的进展，它必须满足下列的充分必要条件，即：从第二开始，它的每一个成员应为邻近成员的几何平均值。

该属性允许在一定的两个相邻的发现任意项级数。

第n个项指数地容易由式发现：锌= Z 1 * Q ^（N-1）中，z知道第一构件1和分母Q值。

由于该 数列 有一笔，然后几个简单的计算给我们一个公式来计算的成员，即第一曲线的总和：

S n中= - （ZN * Q - Z 1）/（1 - Q）。

更换，在式中的表达值的Zn Z 1 * Q ^（N-1），以获得进展的第二总和的公式：S n中= - Z1 *（Q ^ N - 1）/（1 - Q）。

值得关注以下有趣的事实：在发掘中发现的泥板 古巴比伦的 它指的是VI。 BC，包含了显着的方式的总和1 + 2 + ... + 22 + 29等于2的10次方减1。这种现象的解释还没有被发现。

我们注意到几何级数的性质中的一个 - 它的成员的一个恒定的工作，在从所述序列的末端的距离相等地间隔开。

从科学的角度来看，特别重要的，这样的事，作为一个无限几何级数和计算其量。 假设（炔） - 一个具有几何级数分母Q，满足条件| Q | <1时，其量将被称作朝向我们已经知道它的第一个成员的总和限制，其中n的无界增加，则有在它接近无穷大。

发现该量为使用下式的结果：

S n中= Y 1 /（1-Q）。

而且，因为经验表明，这一进展的貌似简单，其实隐藏着巨大的应用潜力。 例如，如果我们构建根据以下算法平方的序列，连接前一个的中点，那么它们形成具有分母1/2的正方形无限几何级数。 同一级数形式和 三角形的面积， 获得的结构的每一个阶段，并且其总和等于原始正方形的面积。